Делитель натурального числа a — это такое натуральное число, которое делит данное число «a» без остатка.


Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел «a» и «b» — это наибольшее число, на которое оба числа «a» и «b» делятся без остатка.


Взаимно простые числа — это натуральные числа, которые имеют только один общий делитель — число 1. Их НОД равен 1.


Онлайн-калькулятор НОД и НОК чисел– это простой и удобный в использовании сервис, который позволит максимально быстро найти такие показатели как наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел (НОД и НОК). Вычисления проводятся над натуральными числами буквально в несколько шагов и занимает не более 1 минуты!
Сегодня математические вычисления стали гораздо проще, так как практически у каждого есть доступ к функциональным онлайн-калькуляторам. Но, как правило, подобные калькуляторы характеризуются ограниченной функциональностью: с их помощью можно выполнять сложение, вычитание, деление, умножение и еще несколько специфичный вычислительных действий. Инженерный калькулятор онлайн обладает уникальной опцией – нахождение НОК и НОД чисел. Данный сервис моментально рассчитывает результат НОК и НОД, однако полезно будет знать теорию, как производятся вычисления и как правильно получить эти показатели.

Что такое НОД и НОК чисел?

Наибольший общий делитель или НОД для двух чисел, обозначим их А и В, представляет собой наибольших из совокупности общих делителей А и В. Например, возьмем два числа: 27 и 9. НОД для этой числовой пары будет равен 9.
НОД можно найти, и он существует только в том случае, если хотя бы одно из чисел пары, то есть А и В, не равно нулю. При обозначения данного показателя принято писать НОД (А, В), при этом вместо букв А и В прописываются числа, с которыми мы работаем.
Рассматриваемый показатель можно применить и найти для любого набора, при условии, что числовая пара состоит из целых чисел. Основная сфера применения – сокращение дробей: если правильно найти НОД дробных знаменателя и числителя, на полученную цифру можно сократить дробный знаменатель и числитель.
Наименьшее общее кратное или НОК для двух натуральных чисел Х и У представляет собой наименьшее число, на которое выбранные Х и У могут делиться полностью, не образуя остаток в результате вычислений. Например, возьмем два числа: 50 и 35. НОК для выбранной цифровой пары составит 350. Чаще всего НОК рассчитывают для приведения дробей к общему знаменателю.
При обозначении данного показателя, как и предыдущего показателя, принято писать НОК (Х, У), при этом вместо букв Х и У указываются числа, с которыми мы производим вычисления.


Как определить, делится ли одно число на другое, не образуя в результате остаток?

Рассматривая теоретический аспект, как работают онлайн калькуляторы НОК и НОД чисел, необходимо изучить, как можно определить, делится ли одно число на другое или нет. Для этого нужно использовать признаки и свойства делимости чисел. Сочетая и комбинируя их, можно быстро и просто осуществлять проверку делимости на некоторые цифры или их сочетания. Рассмотрим признаки делимости наиболее часто используемых чисел:
1. На «2». Чтобы выявить, делится ли число на «2», то есть является ли оно четным или нечетным, необходимо учесть ее последнюю цифру. Если число заканчивается на «8», «4», «2», и «0», оно является четным и должно поделиться на «2». К примеру, нужно определить, делится ли 45674 на «2». Ответ: так как число заканчивается на «4», оно является четным и делится на «2».
2. На «3». Число будет без остатка делиться на «3» при условии, что сумма всех цифр, образующих число, будет делиться на «3» без остатка. Если данное действие не позволило ответить на поставленный вопрос, так как результат получился слишком большим, необходимо вновь повторить данное действие. К примеру, нужно найти, делится ли 369785 на «3». Выполняем складывание: 3+6+9+7+8+5=38. Далее складываем 3+8=11. «11» не делится на «3», поэтому и число 369785 не делится на «3», не образуя остаток.
3. На «5». Чтобы число делилось на «5» полностью, без остатка, оно должно заканчиваться на «0» или на цифру «5». К примеру, нужно выявить, делится ли 569785 на «5». Так как число заканчивается на цифру 5, оно делится на «5».
4. На «9». В данном случае используем тот же алгоритм действий, что и для цифры «3». К примеру, нам нужно определить, делится ли 123456 на 9. Сначала выполняем складывание: 1+2+3+4+5+6= 21. 21 не делится на «9», следовательно и 123456 не делится на «9». Если бы в результате вычислений мы получили большое число, так же, как и с тройкой, сначала бы выполнили сложение, а затем деление на «9».

Алгоритм нахождения НОД и НОК чисел

Сначала разберем, как определить наибольший общий делитель двух натуральных чисел. В данном случае наиболее удобным и простым способом является подбор всех возможных делителей выбранной числовой пары и определение наибольшего из найденных чисел.

Чтобы лучше понять, рассмотрим пример:

найдем НОД (36, 28).

Первым шагом будет разложение выбранных чисел на множители: 36=1*2*2*3*3, 28= 1*2*2*7. Отмечаем, какие из полученных множителей являются общими, то есть встречаются и при разложении 36 и при разложении 28. Это 1,2 и 2. Теперь находим произведение выявленных общих множителей, то есть умножаем их между собой и получаем в результате умножения 4.

Таким образом, НОД для указанной числовой паре будет равен 4.

Алгоритмом Евклида.

Допустим, нам даны два целых числа числа, которые мы обозначим как У1 и У2. Нам требуется найти НОД, то есть такое число Х, которое бы одновременно делило бы У1 и У2. Рассмотрим данный алгоритм более подробно.

Пусть У1 ≥ У2 и при этом У1= n1У2+У3. При этом n1 и У3 являются целыми числами, а У3 < У2 (то есть остаток, полученный в результате деления У1 на У2, должен быть меньше, чем У2).
К примеру, Х делит У1 и У2, из этого вытекает, что Х делит n1У2 , а также Х делит У1 — n1У2= У3 . Из этого мы получаем, общий делитель для нашей рассматриваемой числовой пары будет общим делителем для У2 и У3. Справедливо и обратное предположение, согласно которому общий делитель для пары У1 и У2 является делителем и для У1= n1У2+У3. Таким образом, общий делитель для У2 и У3 является общим делителем для У1 и У2. Так как У3<У2≤У1, мы можем сделать вывод, что вычисление НОД для пары У1 и У2 сводится к более упрощенному действию: необходимо найти НОД для У1 и У3.

При условии, что У3 не равно нулю, мы можем разделить У2 на У3. В результате мы получим следующее: У2= n1У3+У4, при этом n1 и У4 являются целыми числами (У4 является остатком от деления У2 на У3, при условии, что У4< У3). Это позволяет нам сделать вывод о том, что НОД для пары У3 и У4 совпадают с НОД пары У2 и У3, а также с НОД У1 и У2. Все числа (У1,У2, У3 и У4 ) являются постоянно убывающими, а также между У2 и нулем есть конечное число целых чисел. Из этого вытекает, что на определенном шаге N остаток, полученный в результате Уn на Уn+1 , сравняется с нулем, то есть:

  • Уn+2=0
  • У1= n1У2+У3
  • У2= n2У3+У4
  • У3= n3У4+У5
  • …
  • Уn-1= nn-1Уn+Уn+1
  • Уn= nnУn+1+Уn+2

Каждый НОД для пары У1 и У2 является также НОД и для пар У2 и У3, У3 и У4 , … Уn и Уn+1. Из этого вытекает и обратное, что НОД для Уn и Уn+1 будут являться и НОД для пар Уn и Уn-1 , …, У2 и У3, У1 и У2 . Однако НОД для пары Уn и Уn+1 будет число Уn+1, так как Уn и Уn+1 без остатка делятся на Уn+1 (Уn+2=0). Из этого следует, что Уn+1 будет НОД и для пары У1 и У2 .

Здесь важно отметить, что Уn+1 представляет собой наибольший из всех делителей пары Уn и Уn+1, потому что наибольший делитель Уn+1 – собственно само число Уn+1. Если мы можем представить Уn+1 в виде произведения целых чисел, то эти числа будут НОД для пары У1 и У2. В результате Уn+1 будет НОД для пары У1 и У2.
Еще одно важное уточнение – У1 и У2 могут иметь положительное и отрицательное значение. Если одно из чисел равняется О, то НОД этой числовой пары будет равен абсолютному значению оставшегося второго числа. НОД нулевых чисел не рассчитан.

Для закрепления рассмотренного алгоритма Евклида разберем пример.

Итак, нам даны два числа: 630 и 434, необходимо найти их НОД.

Первым шагом будет деление большего числа на меньшее, получаем 196. Второй шаг –делим 434 на получившийся остаток (196), получаем 42. Проделываем данные операции до того момента, пока не получим в остатке 0. Таким образом, мы получаем НОД для заданной пары, в нашем случае он равен 14.

Теперь приступим к наименьшему общему кратному (НОК). При расчёте НОК одинаково эффективны два способа. Первая методика поиска НОК заключается в том, чтобы сначала перечислить все числа, кратные числовой паре. После этого среди всех выписанных чисел находим такое, которое будет общим для числовой пары, с которой мы работаем и при этом является самым меньшим.

Второй способ поиска НОК заключается в нахождении НОД

Рассмотрим более подробно один из способов нахождения НОК. Сначала вычисляем произведение числовой пары. Затем находим НОД для этих че чисел. Третьим шагом будет деление полученного произведения на полученный НОД. Итак, давайте найдем данный показатель для следующей пары: 35 и 27. Сначала умножаем эти числа и получаем 945. НОД(35, 27) = 1. Таким образом, НОК = 945:1=945.


Взаимно простые числа при расчете НОД и НОК чисел

Рассматривая онлайн калькуляторы, а вернее то, на основании каких принципов и вычислительных действий они работают, мы подходим к такому понятию как «взаимно простые числа». Если мы разбираем теоретическую часть расчета показателей НОК и НОД, то обязательно сталкиваемся с данным понятием.
Числа называются взаимно простыми, если для А и В наибольшим общим делителем является единица. Таким образом, если два числа не имеют общего делителя, они называются взаимно простыми. При этом, если А и В являются взаимно простыми числами, а НОД выражен каким-либо числом, любой общий делитель для данных чисел будем одновременно и общим делителем для НОД и В.

Как пользоваться калькулятором

Онлайн калькуляторы отличаются максимальной простотой и удобство в эксплуатации. А главное – они всегда под рукой, вы можете использовать их с персонального компьютера, планшета, смартфона и других гаджетом, имеющих доступ к сети интернет.
Чтобы вычислить необходимый вам показатель, НОД и НОК чисел, достаточно пройти 3 простых шага:
1. Открыть калькулятор.
2. Далее вводим наши числа в специальные окошки «Первое» и «Второе».
3. И сразу получаем два показателя: наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель.
При вводе чисел необходимо учитывать, что их длина не ограничена. То есть сервис позволяет выполнять расчеты для абсолютно любых чисел.
Решение линейных диофантовых уравнений

Как уже говорилось в самом начале материале, НОК и НОД чисел, в основном, используются при работе с дробями, чтобы привести их к общему знаменателю или сократить дроби. Однако, кроме этого, данные показатели эффективны и при решении более сложных задач, в частности при решении линейных диафантовых уравнений.
Под уравнениями данного типа понимают выражения в виде АХ+ВУ=D. Если отношение D к НОД числовой пары А и В является целым числом, уравнение можно разрешить посредством использования целых чисел. Давайте теперь проверим несколько уравнений для подтверждения этого заявления.

К примеру, мы имеем уравнение: 120х+10у=40. Используя онлайн, калькулятор находим показатель НОД для пары 120 и 10. Это будет 10. Теперь делим 40 на 10 и получаем 4. Полученное число является целым, следовательно, есть возможность целочисленного решения уравнения. Таким образом, приведенное уравнение имеет целочисленные корни.
Рассмотрим еще одно уравнение: 125х+375у=17. С помощью калькулятора находим НОД для 125 и 375, он будет равен 125. Делим 125 на 17 и получаем 7.35. Так как конечное число не является целым, мы можем сделать вывод о том, что уравнение не может быть решено посредством целых чисел и коэффициентов.
Выводы

В данном материале мы рассмотрели методику расчете НОК и НОД чисел, а также познакомились с числами, которые называются взаимно простыми. Как вы видите, вычисления нельзя назвать простыми, они требуют времени и большого труда. Когда быстро нужно вычислить НОД и НОК чисел гораздо удобнее использовать онлайн калькуляторы.